Точки разрыва функции, их классификация

Определение 6.

Точки, в каких нарушается непрерывность функции, именуются точками разрыва этой функции, другими словами точками, в каких не производится хотя бы одно из критерий (1).

1) Функция определена в округи точки , но не определена в самой точке (рис. 2).

2) Функция определена в точке и ее округи, но не существует предела при (рис. 3).

3) Функция определена в Точки разрыва функции, их классификация точке и ее округи, существует предел , но этот предел не равен значению функции в точке (рис. 4).

Определение 7.

Точка разрыва именуется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке есть однобокие конечные пределы , и при всем этом, если , то точка именуется точкой устранимого разрыва, а если Точки разрыва функции, их классификация , точка именуется точкой конечного разрыва и величина именуется скачком функции в точке разрыва первого рада.

Определение 8.

Точка разрыва именуется точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке, по последней мере, не существует либо равен бесконечности один из однобоких пределов.

Соответственно на рис. 2 точка – точка разрыва второго рода, т. к. и Точки разрыва функции, их классификация . На рис. 3. точка – точка неискоренимого разрыва первого рода, т. к. . Скачок функции в точке соответственно равен . На рис. 4. точка - точка устранимого разрыва первого рода, т. к. . Если установить, что при , то функция станет непрерывной.

3. Главные аксиомы о непрерывных функциях

Аксиомы о непрерывности функций следуют из соответственных теорем о Точки разрыва функции, их классификация границах.

Аксиома 1.

Сумма, произведение и личное 2-ух непрерывных функций есть функция непрерывная (для личного, кроме тех значений аргумента, в каких делитель равен нулю).

Подтверждение.

Пусть функции и непрерывны на неком огромном количестве X и – хоть какое значение этого огромного количества. Докажем непрерывность произведения . Применяя аксиому о пределе произведения, получим

,

т. е. . Как Точки разрыва функции, их классификация следует, непрерывна в точке . Аналогично доказывается для других операций.

Аксиома 2.

Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то непростая функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке .

Подтверждение.

В силу непрерывности функции , , т. е. при имеем . Потому в силу непрерывности функции имеем:

.

Как следует, функция Точки разрыва функции, их классификация непрерывна в точке .

Аксиома 3.

Если функция непрерывна и строго однообразна на оси , то оборотная функция также непрерывна и однообразна на соответственном отрезке оси .

Принципиально!

Все простые функции непрерывны в области определения.

ПРИМЕР 3.

непрерывна , тогда .

4. Характеристики функций непрерывных на отрезке

Непрерывные на отрезке функции имеют ряд принципиальных параметров.

Аксиома 4 (Вейерштрасса).

Если функция непрерывна Точки разрыва функции, их классификация на отрезке, то она добивается на этом отрезке собственного большего и меньшего значений.

Изображенная на рис. 5 функция непрерывна на отрезке , воспринимает свое наибольшее значение M в точке а, а меньшее в точке . Для хоть какого имеет место неравенство .

Аксиома 5.

Если функция непрерывна на отрезке, то она Точки разрыва функции, их классификация ограничена на этом отрезке (вытекает из аксиомы 4).

Аксиома 6 (Больцано-Коши).

Если функция непрерывна на отрезке и воспринимает на его концах неравные значения и , то на этом отрезке она воспринимает и все промежные значения меж А и В.

Геометрически аксиома явна (рис. 6). Для хоть какого числа С, заключенного меж А Точки разрыва функции, их классификация и В, снутри этого отрезка найдется такая точка с, что . Ровная пересечет график функции по последней мере в одной точке, по другому функция должна была бы иметь разрыв.

Аксиома 7.

Если функция непрерывна на отрезке и на его концах воспринимает значения различных символов, то снутри отрезка найдется хотя бы одна точка c Точки разрыва функции, их классификация, в какой данная функция обращается в нуль – .

Геометрический смысл аксиомы (рис. 7) значит, что если график непрерывной функции перебегает с одной стороны оси на другую, то он пересекает ось .

Следствие!

Аксиома 7 лежит в базе так именуемого способа половинного деления, который употребляется для нахождения корня уравнения .

ПРИМЕР 4.

Найти с Точки разрыва функции, их классификация точностью корень для на отрезке , применив способ половинного деления.

Решение. Обозначим левую часть уравнения .

Шаг 1. = - 2.281718 и =16.085537.

Шаг 2. Вычисляем .

Шаг 3. Вычисляем =3.096163. Если , то x – корень уравнения. В нашем случае это не так.

Шаг 4. При , если , то полагаем , , по другому , . В нашем случае , потому , =3.096163.

Шаг 5. Если , то задачка решена. В качестве искомого корня Точки разрыва функции, их классификация (с данной точностью ) принимают . По другому процесс деления отрезка напополам продолжаем, ворачиваясь к шагу 2. В нашем случае , как следует, возвращаемся к шагу 2, , а новое значение =–0.018311. Так как , то , а -0.018311. Определяем . И т.д.. В конечном счете получим x = 0.29589.

Заключение

Для анализа функции нужны познания о границах. Последний пример Точки разрыва функции, их классификация – численный способ анализа функции.

Отметим:

- функция непрерывна, если производятся три условия;

- из непрерывности функции , что соответствует ;

- приращение функции в точке ;

- точки разрыва бывают первого и второго рода;

- способ половинного деления позволяет отыскать корень уравнения с данной точностью;

- , . Откуда . Напомним, что ~ .

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980. – 384 с.

2. Натансон И.П Точки разрыва функции, их классификация. «Теория функций вещественной переменной». – СПб.: Лань, 1999. - 560 с.

РАЗДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ


tochki-zreniya-pechataetsya-po-postanovleniyu.html
tochnaya-nastrojka-i-borba-s-pomehami.html
tochnij-poisk-podstroki-v-stroke.html